RC
회로

저항 + 커패시터 = 지수곡선

전압을 걸어도 커패시터는 즉시 가득 차지 않는다. 저항이 전류를 막아서 천천히 채워진다.

커패시터에 전류가 흘러야 전하가 쌓이고, 전하가 쌓여야 전압이 오른다.
그런데 그 전류는 저항을 거쳐야 한다. 그래서 흐름이 제한된다.

채워질수록 커패시터 전압이 커지고, 공급 전압과의 차이는 줄어든다.
차이가 줄면 전류도 줄고, 전류가 줄면 채우는 속도도 느려진다.
그래서 처음엔 빠르게 솟다가 점점 완만해지는 지수곡선이 나온다.

식으로는 충전이 V(t) = Vs(1 − e^(−t/RC)),
방전이 V(t) = V0·e^(−t/RC)다.
둘 다 직선이 아니라 휘어진 곡선이라는 점이 핵심이다.

시정수 τ = RC

곡선의 빠르기를 한 숫자로 압축한 게 시정수 τ(타우)다. 정의는 τ = R × C.

τ는 커패시터가 최종 전압의 63%까지 차는 데 걸리는 시간이다.
63%인 이유는 1 − e^(−1) ≈ 0.632이기 때문이다.

단위는 시간이다. 옴(Ω)과 패럿(F)을 곱하면 초(s)가 나온다.
kΩ과 µF을 곱하면 ms가 나오는데, 실무에선 이 단위가 편하다.

τ는 곡선의 성격을 정한다. τ가 작으면 휙 차고, τ가 크면 느릿하게 찬다.
같은 회로라면 충전 τ와 방전 τ가 같고, 차는 속도와 빠지는 속도가 대칭이다.

R·C가 크면 느리다

R과 C를 바꾸면 τ=RC가 바뀌고, 곡선의 기울기가 통째로 변한다.

R을 키우면 전류가 더 막혀서 천천히 채워진다.
C를 키우면 담을 그릇이 커져서 채우는 데 더 오래 걸린다.
둘 중 무엇을 키워도 τ가 커지고 곡선이 눕는 결과는 같다.

반대로 R·C를 줄이면 τ가 작아져 순식간에 찬다.
τ만 같으면 R이 크고 C가 작든, R이 작고 C가 크든 곡선 모양은 똑같다.

그리고 5τ가 지나면 99%를 넘겨 거의 다 찬 상태가 된다.
실무에선 5τ면 다 찼다고 보고 설계한다.

τ가 정하는 빠르기

τ 하나로 회로가 빠른지 느린지가 갈린다. 같은 공급 전압이라도 τ가 다르면 완전히 다른 곡선이 된다.

τ가 작은 회로는 입력이 바뀌면 출력이 거의 바로 따라간다. 반응이 빠르다.
τ가 큰 회로는 입력이 바뀌어도 출력이 한참 뒤에 따라간다. 반응이 느리다.

이 빠르기 조절이 RC를 쓰는 이유다.
타이밍 회로는 τ로 지연 시간을 만든다.
필터는 τ로 차단주파수 f_c = 1/(2πRC)를 정한다.
전원 평활은 큰 τ로 출렁임(리플)을 눌러 평평하게 만든다.

타이밍, 필터, 평활은 모두 τ=RC가 곡선의 빠르기를 정한다는 같은 원리에서 나온다.

정리, 한 숫자로 잡는 RC

RC 회로는 외울 게 많아 보여도 결국 한 줄로 압축된다.
τ = RC가 모든 빠르기를 정한다.

충방전은 직선이 아니라 지수곡선이다.
1τ에 63%, 2τ에 86%, 3τ에 95%까지 차고, τ마다 남은 거리의 63%씩 채운다.
5τ면 99%를 넘겨 거의 다 찬다.

R·C를 키우면 τ가 커져 느려지고, 줄이면 τ가 작아져 빨라진다.
이 빠르기 조절이 타이밍과 필터와 평활의 공통 뿌리다.