오늘 끝나면
카이제곱 검정
- ✓카이제곱 검정의 핵심 문제를 한 문장으로 설명한다
- ✓오른쪽 실습에서 카이제곱이 어떻게 움직이는지 관찰한다
- ✓다음 강의와 이어지는 한계를 말할 수 있다
실습 미션
범주끼리 관계가 있나? — 관측 vs 기대 빈도 이 문장이 실제로 무슨 뜻인지 실습에서 한 번 손으로 확인한다.
성공 조건
- □실습의 기본값을 먼저 관찰
- □입력값이나 모드를 한 번 이상 바꿔 결과 비교
- □왜 결과가 바뀌었는지 한 문장으로 설명
통계 · 11
카이제곱
검정
두 범주형 변수가 관계가 있나? 평균이 아니라 빈도(개수)를 다룬다.
관계가 없다면 나올 기대빈도와 실제 관측빈도를 비교한다.
평균이 아니라 빈도를 본다
지금까지는 키나 점수 같은 숫자의 평균을 비교했다.
그런데 데이터가 숫자가 아니라 칸일 때가 있다.
성별(남, 여), 선호(커피, 차), 합격(O, X) 같은 범주다.
범주는 평균을 못 낸다. 셀 수 있는 건 개수뿐이다.
그래서 각 칸에 몇 명이 들어왔는지 빈도를 센다.
카이제곱 검정은 두 범주가 서로 관계가 있는지 따진다.
성별에 따라 커피와 차 선호가 갈리는지, 아니면 무관한지를 본다.
172, 168, 180, 165 …
키·점수·무게는 t검정·ANOVA로
남/여 · 커피/차 · O/X
빈도(칸의 사람 수)는 카이제곱으로
관계가 없다면 나올 기대빈도
관계가 없다면 어떻게 나와야 하는지를 먼저 계산한다.
관계가 없다는 건 행 비율과 열 비율이 그냥 곱해진다는 뜻이다.
기대빈도 E = 행합 × 열합 ÷ 총합
전체에서 그 행의 비율과 그 열의 비율을 곱해 사람 수로 환산한 값이다.
이 E가 “관계 없을 때의 가상 표”다.
실제 관측 O가 이 E와 얼마나 다른지가 다음 질문이다.
| 커피 | 차 | |
| 남 | 40 | 10 |
| 여 | 15 | 35 |
| 커피 | 차 | |
| 남 | 27.5 | 22.5 |
| 여 | 27.5 | 22.5 |
차이를 합친 게 카이제곱값
O와 E의 차이를 한 숫자로 합친다. 그게 카이제곱값이다.
그냥 O−E를 더하면 +와 −가 상쇄돼 0이 된다.
그래서 제곱해서 부호를 없앤다.
또 칸마다 기대 크기가 다르다. 100명 중 1 차이와 5명 중 1 차이는 무게가 다르다.
그래서 E로 나눠 상대적 차이로 맞춘다.
χ² = Σ (O − E)² / E
각 칸의 (관측−기대) 제곱을 기대로 나눈 값을 전부 더한 것이다.
왜 제곱하고 E로 나누나 (더 자세히)
O−E를 그냥 더하면 행합과 열합이 고정돼 항상 0이고 정보가 사라진다.제곱은 차이를 양수로 만들고 큰 차이에 더 큰 벌점을 준다.
E로 나누는 건 표준화다. 기대가 큰 칸의 작은 흔들림이 과대평가되지 않게 한다.
이 통계량은 귀무가설(독립) 아래서 근사적으로 자유도 (행−1)(열−1)의 카이제곱분포를 따른다.
직접 돌려보는 분할표
네 칸의 관측빈도를 바꾸면 기대빈도 E, 칸별 기여도 (O−E)²/E, 그 합인 χ²가 모두 다시 계산된다.
“관계 있음” 프리셋은 대각선이 쏠려 있어서 χ²가 크다.
“관계 없음” 프리셋은 칸이 고르게 퍼져 있어서 χ²가 거의 0이다.
자유도 df=1일 때 임계값은 3.841이다.
χ²가 이보다 크면 관계가 있다고, 작으면 관계가 없다고 본다.
| 커피 | 차 | 합 | |
|---|---|---|---|
| 남성 | 50 | ||
| 여성 | 50 | ||
| 합 | 55 | 45 | 100 |
임계값 3.841 (df=1, α=0.05)과 비교한다.
χ²가 임계값보다 크다. 관측이 기대에서 멀어 두 변수는 관계가 있다.
크면 관계 있음 · 두 종류
카이제곱값이 크다는 건 관측이 기대에서 멀다는 뜻이고, 두 변수가 관계가 있다는 뜻이다.
작으면 관측이 기대와 비슷해서 관계가 없다고 본다.
얼마나 커야 “큰” 건지는 자유도와 임계값으로 정한다.
카이제곱 검정은 두 종류다.
적합도 검정은 한 변수의 분포가 예상과 맞는지 본다 (주사위가 공정한가).
독립성 검정은 두 변수가 서로 관계가 있는지 본다 (성별과 선호).
둘 다 원리는 같다. 관측 O를 기대 E와 비교해 χ²로 합치는 것이다.
Q. 관측빈도가 기대빈도와 거의 같으면 카이제곱값은?
0에 가깝다.O−E가 거의 0이라 (O−E)²/E도 거의 0이고, 다 더해도 작다.
즉 관측이 “관계 없을 때의 기대”와 일치한다는 뜻이고, 두 변수는 관계가 없다고 본다.
임계값 왼쪽이면 기대와 비슷하고 오른쪽이면 기대에서 멀다