T-검정
두 집단 비교

평균차가 우연인지 검정한다

A반 평균 72점, B반 평균 75점. B가 더 잘했다고 말해도 될까?

두 평균이 달라 보여도 그건 표본 변동일 수 있다.
같은 모집단에서 두 번 뽑아도 평균은 매번 조금씩 다르다.
차이 3점이 실력 차인지 그냥 뽑기 운인지 구분이 안 된다.

t-검정이 던지는 질문은 하나다.
“이 평균 차이가 우연으로 보기엔 너무 큰가?”
귀무가설은 “두 모평균이 같다(차이=0)”이다.

그 가설이 맞다고 쳤을 때 지금 차이가 얼마나 드문지를 p값으로 잰다.
충분히 드물면 우연이 아니라고 판정한다.

t = 평균차 ÷ 표준오차

핵심은 평균 차이를 그냥 보지 않고 흔들림으로 나눠 본다는 데 있다.

t = (x̄_B − x̄_A) / SE
분자는 두 평균의 차이, 곧 신호다.
분모는 표준오차(SE)로, 표본평균이 흔들리는 정도인 잡음이다.

그래서 t는 신호 대 잡음 비다.
차이가 잡음의 몇 배인지를 숫자 하나로 표현한다.
t가 클수록 잡음치곤 차이가 크다는 뜻이다.

이 t를 t분포에 대보면 우연일 확률 p가 나온다.
보통 p < 0.05이면 유의하다고 판정한다.

직접 굴려 보기

위쪽이 그룹 A, 아래쪽이 그룹 B의 점 분포이고 굵은 선이 각 평균이다.

거리를 키우면 두 평균이 멀어져 t가 커지고 p가 작아진다.
퍼짐을 키우면 점이 넓게 흩어져 두 분포가 겹치고 t가 작아진다.

같은 평균차여도 점들이 많이 겹치면 우연으로 보인다.
멀고 좁게 갈라져야 진짜 차이로 판정된다. 그게 t-검정의 직관이다.

차이 크고 퍼짐 작고 n 크면 유의

t를 키워서 유의하게 만드는 손잡이는 세 개다.

평균 차이가 크면 분자가 커져 t가 올라간다.
그룹 내 퍼짐이 작으면 잡음이 작아 SE가 줄고 t가 올라간다.
표본 n이 크면 SE가 √n으로 줄어 t가 올라간다.

반대로 차이가 작거나 퍼짐이 크거나 n이 작으면 t가 작아진다.
그러면 p가 커져 우연일 수 있다는 판정으로 남는다.

그래서 작은 차이도 n을 충분히 키우면 유의해질 수 있다.
유의성을 보는 p값과 차이의 크기를 보는 효과크기는 다른 얘기이니 둘 다 봐야 한다.

정리, 신호를 잡음으로 나눠라

오늘은 셋만 챙기면 된다.

평균이 달라 보여도 우연일 수 있으니 검정한다.
t = 평균차 ÷ 표준오차, 곧 신호 대 잡음이다.
차이가 크고 퍼짐이 작고 n이 크면 t가 커지고 p가 작아져 유의해진다.

종류로는 두 별개 집단을 비교하는 독립표본 t-검정이 있고,
같은 대상의 전과 후를 비교하는 짝지은표본 t-검정이 있다.

그럼 집단이 셋 이상이면? 다음 강의 분산분석(ANOVA)으로 이어진다.