오늘 끝나면
분포
- ✓분포의 핵심 문제를 한 문장으로 설명한다
- ✓오른쪽 실습에서 분포이 어떻게 움직이는지 관찰한다
- ✓다음 강의와 이어지는 한계를 말할 수 있다
실습 미션
데이터가 퍼진 모양 — 종모양(정규분포)이 왜 자꾸 나오나 이 문장이 실제로 무슨 뜻인지 실습에서 한 번 손으로 확인한다.
성공 조건
- □실습의 기본값을 먼저 관찰
- □입력값이나 모드를 한 번 이상 바꿔 결과 비교
- □왜 결과가 바뀌었는지 한 문장으로 설명
통계 · 02
분포
데이터의 모양
분포는 값들이 어떻게 퍼져 있는지를 나타내는 모양이다.
가운데가 몰리고 양끝이 적은 종모양이 대표적인데, 이것이 정규분포다.
평균이 중심이고 표준편차가 폭이다.
데이터를 늘어놓으면 모양이 생긴다
숫자 한 무더기를 그냥 보면 아무것도 안 보인다. 늘어놓고 세어 보면 모양이 드러난다.
값을 구간으로 쪼갠 다음, 각 구간에 몇 개가 들었는지 세어서 막대로 그린다.
이 그림이 히스토그램이다.
막대 높이는 그 구간의 빈도다.
높은 곳에는 값이 많이 몰려 있고, 낮은 곳에는 드물게 있다.
그 막대들의 윤곽이 곧 분포, 즉 데이터가 퍼진 모양이다.
막대 높이 = 그 구간에 든 개수
정규분포 = 종모양
여러 데이터가 약속한 듯 같은 모양으로 모인다. 가운데 봉우리가 있고 양옆이 대칭으로 흘러내린다.
이 종모양이 정규분포(normal distribution)다.
키와 시험점수, 측정오차가 이 모양으로 나온다.
작은 영향이 여럿 더해지면 종모양으로 수렴한다.
키는 유전과 영양, 환경 등 수많은 요인의 합이라 가운데로 몰린다.
한쪽으로 꼬리가 길게 끌리면 치우친 분포(skew)다. 소득이 그 예다.
평균은 중심, 표준편차는 폭
종모양 하나를 정하는 데는 숫자 둘이면 충분하다. 평균 μ와 표준편차 σ다.
평균 μ는 봉우리의 위치, 곧 분포의 중심이다.
표준편차 σ는 퍼진 정도, 곧 곡선의 폭이다.
μ를 옮기면 종 전체가 좌우로 미끄러진다.
σ를 키우면 납작하고 넓게 변하고, 줄이면 뾰족하고 좁게 변한다.
파란 곡선은 이론이고 검은 막대는 그 분포에서 실제로 뽑은 표본인데, 둘이 같은 모양으로 겹친다.
곡선의 식이 궁금하면
정규분포의 확률밀도함수는f(x) = 1/(σ√2π) · e^(−(x−μ)²/2σ²) 이다.
말로 풀면, 중심 μ에서 멀어질수록 (x−μ)²이 커져 e의 지수가 음수로 깊어지고 값이 빠르게 작아진다. 그래서 가운데가 높고 양끝이 낮은 종모양이 나온다. σ는 그 떨어지는 속도, 곧 폭을 정한다.
파란 곡선이 이론(정규분포), 검은 막대가 실제 표본이다.
σ를 키우면 곡선이 납작하고 넓게, 줄이면 뾰족하고 좁게 변한다.
±2σ 안 비율은 흔들어도 95% 근처에 머문다.
68-95-99.7 규칙
정규분포는 중심에서 σ 단위로 떨어진 비율이 항상 같다. 외워두면 두루 쓰인다.
μ ± 1σ 안에 약 68%
μ ± 2σ 안에 약 95%
μ ± 3σ 안에 약 99.7%
이것을 경험규칙(empirical rule)이라 한다.
시험점수가 정규분포이고 평균이 60, 표준편차가 10이면, 40~80점(±2σ) 안에 약 95%가 들어온다.
80점을 넘으면 상위 2.5%쯤이다. σ만 알면 위치가 바로 잡힌다.
Q. 정규분포에서 평균 ± 2표준편차 안에 들어오는 비율은?
약 95%다.정규분포의 68-95-99.7 규칙 중 2σ에 해당한다.
(1σ는 약 68%, 3σ는 약 99.7%)
중심에서 σ만큼 멀어질수록 안에 든 비율이 정해져 있다