오늘 끝나면
중심극한정리
- ✓중심극한정리의 핵심 문제를 한 문장으로 설명한다
- ✓오른쪽 실습에서 중심극한정리이 어떻게 움직이는지 관찰한다
- ✓다음 강의와 이어지는 한계를 말할 수 있다
실습 미션
아무 분포라도 표본평균은 정규분포로 모임 — 통계가 작동하는 이유 이 문장이 실제로 무슨 뜻인지 실습에서 한 번 손으로 확인한다.
성공 조건
- □실습의 기본값을 먼저 관찰
- □입력값이나 모드를 한 번 이상 바꿔 결과 비교
- □왜 결과가 바뀌었는지 한 문장으로 설명
통계 · 05
중심
극한정리
원래 분포가 뭐든 상관없다.
표본을 뽑아 그 평균들을 모으면 종모양 정규분포가 된다.
이게 평균 비교, 검정, 신뢰구간을 굴리는 엔진이다.
개별 값의 분포는 제각각이다
현실 데이터의 모양은 정해진 게 없다.
소득은 한쪽으로 길게 치우친다.
주사위 눈은 1~6이 고르게 나온다(균등).
어떤 데이터는 봉우리가 둘이다(쌍봉).
개별 값 하나하나가 어떤 모양으로 나오는지를 원분포라 부른다.
원분포는 종모양일 필요가 전혀 없다.
치우치든 평평하든 울퉁불퉁하든 상관없다.
그래서 데이터를 그냥 모아 그리면 종모양이 안 나오는 게 보통이다.
여기서 끝나면 정규분포 가정은 못 쓰는 것처럼 보인다.
개별 값이 아니라 '평균'을 모은다
핵심 전환은 무엇을 모으느냐다.
개별 값을 모으는 게 아니다.
한 번에 n개를 뽑아 그 평균 1개를 구한다.
그 평균 뽑기를 수없이 반복한다.
예를 들어 n=5면 값 5개를 뽑아 평균 1개를 만든다.
또 5개를 뽑아 평균 1개. 이렇게 계속 반복한다.
그렇게 쌓인 표본평균들의 분포를 보는 것이다.
원분포가 아니라 표본평균의 분포, 이걸 표본분포라 한다.
여기서 마법이 일어난다.
표본평균을 모으면 정규분포로 모인다
원분포를 치우친 모양이나 쌍봉으로 바꿔도 결과는 같다.
중심극한정리(Central Limit Theorem)는 이렇게 말한다.
원분포가 무엇이든, n이 충분히 크면 표본평균의 분포는 정규분포에 가까워진다.
원분포가 아무리 이상해도 평균분포는 가운데로 모인 종모양이 된다.
n을 키우면 더 깔끔한 종모양이 된다.
평균들의 중심은 모평균 그대로다.
단, 평균들의 표준편차는 σ/√n로 줄어든다.
그래서 n이 클수록 폭이 좁고 뾰족해진다.
왜 √n으로 줄어드는지 (한 줄 수식)
독립인 값 n개를 평균내면 분산이 1/n로 줄어든다.Var(X̄) = σ² / n
표준편차는 그 제곱근이라 SD(X̄) = σ / √n이다.
이 σ/√n을 표준오차(standard error)라 부른다.
개별 값 하나하나는 이 모양으로 나온다.
아래 버튼으로 표본평균을 뽑아 쌓아 본다.
표본이 클수록 더 깔끔한 종모양
표본크기 n은 두 가지를 바꾼다.
모양을 더 정규에 가깝게 만든다.
폭을 σ/√n만큼 좁게 만든다.
n=1이면 평균이 곧 개별 값이라 원분포 그대로다(정규 아님).
n=5만 돼도 꽤 종모양에 가까워진다.
n=30이면 웬만한 원분포에서 충분히 정규로 본다(경험칙).
폭이 √n으로 줄어든다는 건 정밀도가 √n으로 좋아진다는 뜻이다.
표본을 4배로 늘리면 평균의 흔들림은 2배만 줄어든다.
그래서 t검정·신뢰구간이 작동한다
이게 통계 추론의 엔진이다.
평균 비교, t검정, 신뢰구간은 전부 표본평균의 분포를 정규로 가정한다.
개별 데이터가 정규가 아니어도 된다.
우리가 다루는 건 평균이고, 평균의 분포는 정규로 모이기 때문이다.
신뢰구간 X̄ ± z · (σ/√n)의 ±폭이 바로 표준오차에서 온다.
n이 클수록 구간이 좁아지고 추정이 정밀해진다.
정리하면, 원분포는 자유롭게 두고 추론은 정규로 한다.
그 다리를 놓아주는 게 중심극한정리다.
Q. 원래 데이터가 정규분포가 아니어도 평균 비교 검정을 쓸 수 있는 이유는?
중심극한정리 덕분이다.n이 충분하면 표본평균의 분포가 정규분포에 가까워진다.
검정과 신뢰구간이 보는 건 개별 값이 아니라 평균이라, 정규 기반 방법이 그대로 통한다.
| 원분포 | 아무 모양이나 OK |
| 표본평균 | 정규분포로 수렴 |
| 표준오차 | σ / √n |
| 신뢰구간 | X̄ ± z · (σ/√n) |
| t검정 | 평균 비교가 통한다 |