오늘 끝나면
표본과 모집단
- ✓표본과 모집단의 핵심 문제를 한 문장으로 설명한다
- ✓오른쪽 실습에서 표본과이 어떻게 움직이는지 관찰한다
- ✓다음 강의와 이어지는 한계를 말할 수 있다
실습 미션
다 못 재니 일부로 추측 — 표본은 매번 흔들림(표집오차) 이 문장이 실제로 무슨 뜻인지 실습에서 한 번 손으로 확인한다.
성공 조건
- □실습의 기본값을 먼저 관찰
- □입력값이나 모드를 한 번 이상 바꿔 결과 비교
- □왜 결과가 바뀌었는지 한 문장으로 설명
통계 · 04
표본과
모집단
알고 싶은 건 전체다. 근데 전체를 다 잴 수는 없다.
그래서 일부만 뽑아(표본) 전체(모집단)를 추측한다.
표본은 뽑을 때마다 흔들린다. 이 흔들림을 다루는 게 통계다.
모집단은 전체, 표본은 일부
모집단은 알고 싶은 대상 전체다. 예를 들면 대한민국 사람 전부의 키다.
근데 전국민을 다 재는 건 불가능하다.
돈도 시간도 접근도 받쳐주지 않는다.
그래서 일부만 뽑는다. 이 일부가 표본이다.
모집단은 우리가 진짜 알고 싶은 것이다.
표본은 실제로 손에 쥔 것이다.
통계의 목표는 한 가지다.
손에 쥔 표본으로 못 본 모집단을 추측하는 것이다.
모르는 모수를 추정한다
모집단의 진짜 값을 모수(parameter)라 한다. 모평균 μ, 모분산 σ².
모수는 고정된 진실이다. 하나의 값이다.
근데 우리는 그 값을 모른다. 전체를 못 봤기 때문이다.
표본에서 계산한 값은 통계량(statistic)이다.
표본평균 x̄, 표본분산 s².
통계량 x̄로 모수 μ를 추정한다. 표본평균을 모평균의 추정치로 쓰는 것이다.
| 모수 · 진실 | 통계량 · 추측 | |
|---|---|---|
| 평균 | μ (모평균) | x̄ (표본평균) |
| 분산 | σ² | s² |
| 비율 | p | p̂ |
표본평균은 매번 흔들린다
표본평균은 모평균 근처에 오지만 정확히 같지는 않다.
같은 크기로 다시 뽑아도 표본평균은 매번 달라진다.
이 흔들림이 표집오차(sampling error)다.
표집오차는 표본평균에서 모평균을 뺀 값이다.
오차가 생기는 건 실수가 아니라 표본을 쓰는 한 피할 수 없는 성질이다.
n을 키우면 표본평균선(파랑)이 모평균선(검정)에 더 붙고 덜 흔들린다.
같은 n으로 다시 뽑아도 매번 값이 다르다. 이게 표집오차다.
n이 커지면 오차가 작아진다
표본이 클수록 표집오차가 작아진다. 더 많이 보면 전체에 가까워진다.
정확히는 표본평균의 흔들림(표준오차)이 이렇게 줄어든다.
SE = σ / √n
n이 4배가 되면 흔들림은 2배가 아니라 절반으로 줄어든다. √n 때문이다.
표준오차 SE = σ/√n, 왜 √n인지
독립인 n개 값의 합의 분산은 각 분산의 합, 즉 nσ²이다. 평균은 합을 n으로 나눈 것이라 분산이 nσ²/n² = σ²/n로 줄어든다. 표준편차로 보면 √(σ²/n) = σ/√n이다. 그래서 흔들림은 n이 아니라 √n에 반비례한다. n을 100배 키워야 오차가 10배 줄어든다. 정확도는 비싸게 사는 것이다.n 4배 → 막대 절반 (√4 = 2배 정확)
편향은 크기로 못 고친다
많이 뽑는다고 항상 정확해지지는 않는다. 함정이 하나 있다.
표집이 편향(bias)됐으면, 즉 특정 집단만 뽑혔으면 크기를 키워도 못 고친다.
농구부 100명으로 전국민 키를 추정하면, 1,000명으로 늘려도 여전히 크게 나온다.
표집오차는 뽑을 때마다 다른 우연한 흔들림이라 n으로 줄어든다.
편향은 한 방향으로 계속 빗나가기 때문에 n을 키워도 그대로 빗나간다.
그래서 핵심은 무작위 표집이다.
모집단의 누구나 같은 확률로 뽑혀야 표본이 전체를 대표한다.
Q. 표본 크기를 키우면 항상 정확해지나?
아니다. 표집이 편향됐으면(특정 집단만 뽑힘) 크기를 키워도 틀린 추정이 된다. n을 키우면 우연한 표집오차는 줄지만, 한 방향으로 치우친 편향은 그대로 남는다. 정확한 추정의 전제는 큰 n이 아니라 무작위로 대표성 있게 뽑은 표집이다.모평균 주위로 양옆에 흩어진다.
n 키우면 폭이 좁아지니 고칠 수 있다.
특정 집단만 뽑혀 계속 같은 쪽으로 빗나간다.
n 키워도 그대로 빗나가니 못 고친다.