오늘 끝나면
평균·분산·표준편차
- ✓평균·분산·표준편차의 핵심 문제를 한 문장으로 설명한다
- ✓오른쪽 실습에서 평균이 어떻게 움직이는지 관찰한다
- ✓다음 강의와 이어지는 한계를 말할 수 있다
실습 미션
가운데(평균)와 퍼짐(분산) 한 쌍으로 데이터를 요약 이 문장이 실제로 무슨 뜻인지 실습에서 한 번 손으로 확인한다.
성공 조건
- □실습의 기본값을 먼저 관찰
- □입력값이나 모드를 한 번 이상 바꿔 결과 비교
- □왜 결과가 바뀌었는지 한 문장으로 설명
통계 · 03
평균·분산
·표준편차
데이터를 두 숫자로 요약한다.
가운데가 어디인지는 평균이 알려준다.
얼마나 퍼졌는지는 분산과 표준편차가 알려준다.
평균 = 데이터의 가운데
평균은 값을 다 더해 개수로 나눈 가운데다.
기호로 쓰면 mean = (1/n) Σ xᵢ다.
말로 풀면 모든 값을 합치고 값의 개수로 나누는 것이다.
평균은 데이터를 한 점으로 누른 값이다.
시소로 치면 좌우가 딱 균형 잡히는 받침점이다.
그래서 “대표값”으로 가장 먼저 보는 숫자다.
(2 + 4 + 6 + 8 + 10) / 5
= 30 / 5
평균 = 6
분산 = 퍼짐 (편차 제곱의 평균)
평균만으론 부족하다. 데이터가 평균 근처에 모였는지, 멀리 흩어졌는지를 알 수 없다.
그래서 각 값이 평균에서 떨어진 거리, 즉 편차를 본다.
편차는 xᵢ − mean이다.
그냥 더하면 +와 −가 상쇄돼 항상 0이 된다.
그래서 제곱해서 부호를 없애고 평균을 낸다.
이게 분산 var = (1/n) Σ (xᵢ − mean)²이다.
퍼질수록 거리가 커지고, 제곱이라 멀수록 더 크게 반영된다.
왜 그냥 절댓값 말고 제곱?
편차 합은 항상 0이라 쓸 수 없다. 절댓값도 퍼짐을 재긴 한다.하지만 제곱은 미분이 매끄럽고, 큰 편차에 더 무겁게 벌점을 준다.
그래서 분산이 표준이 됐다. 단점은 단위가 제곱(예: cm²)이 된다는 것인데, 이건 다음 장에서 해결한다.
| 값 x | 편차 x−6 | 편차² |
|---|---|---|
| 2 | -4 | 16 |
| 4 | -2 | 4 |
| 6 | 0 | 0 |
| 8 | +2 | 4 |
| 10 | +4 | 16 |
(16 + 4 + 0 + 4 + 16) / 5
분산 = 8
표준편차 = √분산 (원래 단위로)
분산은 단위가 제곱이라 직관이 안 온다.
키가 cm면 분산은 cm²다.
그래서 제곱근을 씌워 원래 단위로 되돌린다.
이게 표준편차 sd = √var다.
표준편차는 “값들이 평균에서 평균적으로 이만큼 떨어져 있다”는 거리다.
단위가 데이터와 같아 바로 읽힌다. 표준편차가 5cm면 대체로 평균 ±5cm에 모여 있다는 뜻이다.
그래서 퍼짐을 말할 땐 보통 표준편차를 쓴다.
8 cm²
2.83 cm
평균 같아도 퍼짐 다르면 다른 데이터
평균이 같다고 같은 데이터가 아니다.
퍼짐이 다르면 전혀 다른 모습이다.
파란 선은 평균, 파란 띠는 평균 ±표준편차다.
점을 옮길 때마다 평균과 분산, 표준편차가 즉시 다시 계산된다.
점들을 평균에 바짝 모으면 표준편차가 0에 가까워진다.
하나를 멀리 끌면 평균이 그쪽으로 끌려가고 띠가 확 넓어진다.
이상치 하나가 요약 숫자를 통째로 흔드는 걸 손으로 느낄 수 있다.
점 하나를 멀리 끌어 본다.
평균이 그쪽으로 끌려가고 띠(±표준편차)가 넓어진다.
이상치는 평균·분산을 흔든다
평균과 분산은 모든 값을 다 더해 만든 숫자다.
그래서 극단값 하나에 약하다.
한 명이 평균에서 멀리 떨어져 있으면 평균은 그쪽으로 끌려간다.
분산은 편차를 제곱하니 멀수록 더 크게 부푼다. 이상치 하나가 퍼짐을 통째로 키운다.
그래서 요약 숫자를 볼 땐 항상 물어야 한다.
이 평균을 이상치 하나가 끌고 간 건 아닌가.
(이상치에 덜 흔들리는 중앙값은 다음 강들에서 다룬다.)
Q. 표준편차가 0이면 데이터는 어떤 상태인가?
정답은 모든 값이 똑같다는 것이다 (퍼짐이 전혀 없다).표준편차가 0이면 분산도 0이고, 모든 편차 (xᵢ − mean)가 0이다.
즉 모든 값이 평균과 같고, 데이터가 한 점에 다 모여 있다.