오늘 끝나면
생존 분석 (Cox)
- ✓생존 분석 (Cox)의 핵심 문제를 한 문장으로 설명한다
- ✓오른쪽 실습에서 생존이 어떻게 움직이는지 관찰한다
- ✓다음 강의와 이어지는 한계를 말할 수 있다
실습 미션
사건 발생까지 얼마나 걸리나? — 생존곡선 이 문장이 실제로 무슨 뜻인지 실습에서 한 번 손으로 확인한다.
성공 조건
- □실습의 기본값을 먼저 관찰
- □입력값이나 모드를 한 번 이상 바꿔 결과 비교
- □왜 결과가 바뀌었는지 한 문장으로 설명
통계 · 16
생존 분석
(Cox)
사건이 발생하기까지 얼마나 걸리는지를 다루는 통계다.
시간이라는 축을 두고, 아직 사건이 안 일어난 대상(미관측)까지 함께 처리한다.
환자 생존, 고객 이탈, 기계 고장이 모두 같은 틀로 묶인다.
얼마나 걸리나, 시간을 결과로 본다
보통 회귀는 사건이 일어날지 아닐지를 본다.
생존 분석은 한 발 더 나가서 언제 일어나는지를 본다.
결과 변수가 시간이다.
암 진단 후 생존한 개월 수가 결과가 된다.
가입 후 해지까지 걸린 일수도 마찬가지다.
부품을 설치한 뒤 고장 나기까지 걸린 시간도 같은 식으로 본다.
단순히 평균 시간을 내면 안 된다.
관찰이 끝날 때까지 사건이 안 일어난 대상이 꼭 섞여 있기 때문이다.
이걸 어떻게 다루느냐가 생존 분석의 핵심이다.
✕ = 사건 발생 · + = 중도절단(아직 안 일어남)
중도절단, 아직 안 일어난 것도 정보다
핵심 난점이자 핵심 아이디어가 중도절단(censoring)이다.
연구가 끝날 때까지 사건이 안 일어난 대상이 있다.
5년을 추적했는데 멀쩡히 생존 중인 환자가 그렇다.
관찰 도중 이사를 가서 추적이 끊긴 고객도 마찬가지다.
이들은 정확한 사건 시간을 알 수 없다.
그렇다고 이들을 버리면 오래 산 사람만 빠져서 결과가 왜곡된다.
그래서 이 시점까지는 사건 없이 생존했다는 부분 정보로 활용한다.
이것이 생존 분석이 평균이나 t검정과 다른 결정적 지점이다.
사건이 안 난 사람을 빼버린다
그러면 오래 산 사람만 사라져서 생존율을 과소추정한다
t시점까지 사건 없이 생존했다는 것을 정보로 쓴다
그 뒤로는 위험집단(at risk)에서만 조용히 빠진다
카플란-마이어, 시간에 따른 생존 곡선
카플란-마이어(KM)는 시간에 따른 생존 확률을 곡선으로 그린다.
모양은 계단형이다. 사건이 날 때마다 한 칸씩 뚝 떨어진다.
원리는 단순하다.
매 사건 시점마다 그 시점까지 살아남은 사람 중 사건이 안 난 비율을 곱해 나간다.
식으로는 S(t) = ∏ (1 − dᵢ / nᵢ), 위험에 놓인 nᵢ명 중 dᵢ명에게 사건이 났다는 뜻이다.
치료군의 위험률을 낮추면 곡선이 천천히 내려가서 더 오래 생존한다.
중도절단은 곡선 위에 + 표식으로 찍힌다. 곡선을 떨어뜨리지 않고 위험집단에서만 빠진다.
위험비 0.44, 치료군 위험이 대조군의 44%다. 곡선이 위에 머물러 더 오래 생존한다.
Cox 회귀, 위험을 몇 배 올리나
KM은 곡선을 보여주지만 무엇 때문인지는 답하지 못한다.
요인의 효과를 수치로 보려면 Cox 비례위험 회귀를 쓴다.
Cox가 모형화하는 것은 위험률(hazard)이다. 지금 이 순간 사건이 날 순간적 위험을 가리킨다.
요인이 한 단위 늘면 위험이 몇 배가 되는지를 추정한다.
이 배수가 위험비(hazard ratio, HR)다.
HR이 2면 위험이 2배라 나쁘다.
HR이 0.5면 위험이 절반이라 좋다.
HR이 1이면 효과가 없다는 뜻이다.
비례위험이란 이 배수가 시간 내내 일정하다고 가정한다는 의미다.
식 한 줄, Cox 모형
위험률은 h(t) = h₀(t) · exp(β₁x₁ + … + βₚxₚ)로 쓴다.h₀(t)는 기준 위험이고, 시간에 따라 자유롭게 변하며 모양은 가정하지 않는다.
요인 효과는 exp(β)로 분리되는데, 이것이 곧 위험비(HR)다.
기준 위험을 추정하지 않고 효과만 뽑으므로 준모수라고 부른다.
HR = 요인 1단위당 위험이 몇 배 되나
정리, KM은 곡선이고 Cox는 배수다
둘은 한 짝이다. 곡선으로 보고, 배수로 설명한다.
KM은 군별 생존 곡선을 그려서 어느 쪽이 오래 사는지를 눈으로 보여준다.
Cox는 여러 요인을 한꺼번에 넣어서 각 요인이 위험을 몇 배 올리는지를 숫자로 준다.
공통 뿌리는 하나다. 시간과 중도절단을 같이 다룬다는 것이다.
이 틀 하나로 환자 생존, 고객 이탈, 기계 수명이 전부 같은 분석이 된다.
Q. 관찰 종료까지 사건이 안 일어난 대상은 그냥 버리나?
버리지 않는다.그 시점까지 사건 없이 생존했다는 정보로 활용하는데, 이것이 중도절단(censoring)이다.
버리면 오래 산 대상이 빠져서 결과가 왜곡된다.
KM은 위험집단에서만 빼고, Cox는 부분우도로 이 정보를 끌어 쓴다.
| 묻는 것 | KM | Cox |
|---|---|---|
| 한눈에 보기 | 군별 생존 곡선 | — |
| 요인 효과 수치 | — | 위험비 HR |
| 여러 요인 동시 | 어려움 | 잘됨 |
| 시간 + 중도절단 | 다룸 | 다룸 |