확률과
베이즈

조건부확률 = 조건 깔고 본 확률

확률은 보통 전체를 놓고 센다. 조건부확률은 한 사건이 일어났다는 조건 안에서만 센다.

기호로는 P(A | B)로 쓴다. “B가 일어난 조건에서 A”라는 뜻이다.
전체가 아니라 B라는 작은 세상으로 분모를 갈아끼운다.

정의는 한 줄이다.
P(A | B) = P(A 그리고 B) / P(B)
둘 다 일어난 비율을 B가 일어난 비율로 나눈다.

그래서 같은 사건이라도 어떤 조건을 깔았느냐에 따라 확률이 확 달라진다.
비 올 확률 30%와 먹구름 낀 날 비 올 확률은 다르다. 조건이 분모를 바꾸기 때문이다.

베이즈 = 사전에 증거를 곱해 사후로

베이즈 정리는 조건부확률을 뒤집는 공식이다. 가진 믿음에 새 증거를 곱해 갱신한다.

식은 한 줄이다.
P(병 | +) = P(+ | 병) · P(병) / P(+)

말로 풀면 이렇다.
P(병)은 검사 보기 전 믿음, 즉 사전확률(유병률)이다.
P(+ | 병)은 증거의 힘, 즉 환자가 양성 뜰 확률(민감도)이다.
P(병 | +)은 갱신된 믿음, 즉 사후확률이다.

분모 P(+)는 양성이 뜨는 전체 경로다. 진짜양성과 거짓양성을 합친 값이다.
핵심은 사후가 사전에서 출발한다는 점이다. 사전이 작으면 사후도 쉽게 커지지 않는다.

드문 병은 양성이어도 환자 아닐 수 있다

여기가 직관이 깨지는 지점이다. 검사 정확도가 99%여도 양성이 곧 환자는 아니다.

유병률 1%, 민감도와 특이도 99%로 1000명을 네 칸으로 갈라 본다.
진짜 환자는 10명이고 그중 양성은 약 10명이다.
건강한 990명 중 1%가 거짓양성이라 약 10명이 또 양성으로 나온다.
양성 20명 중 진짜 환자는 절반뿐이다.

유병률을 더 낮추면 거짓양성이 진짜양성을 압도한다.
기저율(유병률)이 작을수록 양성예측도가 뚝 떨어진다.

기저율을 무시하면 틀린다

왜 헷갈릴까. 사람은 검사 정확도(민감도와 특이도)만 보고 유병률을 빼먹기 때문이다.

이걸 기저율 무시(base rate neglect)라 부른다.
“99% 정확한 검사”를 99% 환자 확률로 착각하는 실수다.

같은 검사라도 흔한 병이면 양성예측도가 높고 드문 병이면 낮다.
검사 성능은 그대로인데 사전확률이 결과를 좌우한다.

그래서 실무에선 양성이 나오면 보통 재검이나 정밀검사로 사후확률을 다시 갱신한다.
한 번 갱신한 사후확률이 다음 검사의 사전확률이 된다. 믿음은 계속 누적된다.

정리, 믿음은 증거로 갱신된다

확률은 고정된 진리가 아니라 증거에 따라 갱신되는 믿음의 정도다.

조건부확률은 조건을 깔고 본 확률이다. 분모를 좁히는 셈이다.
베이즈는 사전에 증거를 곱해 사후로 바꾸는 갱신 규칙이다.
기저율은 그 사전 자체다. 무시하면 사후가 통째로 틀어진다.

숫자가 무서우면 자연빈도로 바꿔 센다. 1000명 중 몇 명인지로 보면 역설이 풀린다.