확률과
베이즈

조건부확률 = 조건 깔고 본 확률

확률은 보통 전체를 놓고 셈. 조건부확률은 한 사건이 일어났다는 조건 안에서만 셈.

기호로 P(A | B)— “B가 일어난 조건에서 A”임.
전체가 아니라 B라는 작은 세상으로 분모를 갈아끼우는 것임.

정의는 한 줄임.
P(A | B) = P(A 그리고 B) / P(B)
둘 다 일어난 비율을, B 일어난 비율로 나눈 것임.

그래서 같은 사건이라도 어떤 조건을 깔았느냐로 확률이 확 달라짐.
비 올 확률 30% vs 먹구름 낀 날 비 올 확률 — 조건이 분모를 바꿈.

베이즈 = 사전 + 증거 → 사후

베이즈 정리는 조건부확률을 뒤집는 공식임. 가진 믿음에 새 증거를 곱해 갱신함.

한 줄 식임.
P(병 | +) = P(+ | 병) · P(병) / P(+)

말로 풀면 이렇게 됨.
P(병)은 검사 보기 전 믿음 / 사전확률(유병률).
P(+ | 병)은 증거의 힘 / 환자가 양성 뜰 확률(민감도).
P(병 | +)은 갱신된 믿음 / 사후확률.

분모 P(+)는 양성이 뜨는 전체 경로임 — 진짜양성 + 거짓양성.
핵심은 사후가 사전에서 출발한다는 것임. 사전이 작으면 사후도 쉽게 못 큼.

드문 병은 양성이어도 환자 아닐 수 있다

여기가 직관 깨지는 지점임. 검사 정확도가 99%여도 양성이 곧 환자는 아님.

오른쪽에서 직접 돌려 봄.
유병률을 1%로 두고 민감도·특이도 99%로 맞춰 보셈.
1000명을 네 칸으로 가르면 그림이 바로 보임.

진짜 환자는 10명, 그중 양성은 약 10명.
건강한 990명 중 1%가 거짓양성 → 약 10명이 또 양성.
양성 20명 중 진짜 환자는 절반뿐임.

유병률 슬라이더를 더 낮추면 거짓양성이 진짜양성을 압도함.
기저율(유병률)이 작을수록 양성예측도가 뚝 떨어지는 걸 손으로 느낄 수 있음.

기저율을 무시하면 틀린다

왜 헷갈릴까? 사람은 검사 정확도(민감도·특이도)만 보고 유병률을 빼먹기 때문임.

이걸 기저율 무시(base rate neglect)라 부름.
“99% 정확한 검사”를 99% 환자 확률로 착각하는 실수임.

같은 검사라도 흔한 병이면 양성예측도가 높고, 드문 병이면 낮음.
검사 성능은 그대로인데 사전확률이 결과를 좌우하는 것임.

그래서 실무에선 양성이 나오면 보통 재검·정밀검사로 사후확률을 다시 갱신함.
한 번 갱신한 사후확률이 다음 검사의 사전확률이 됨 — 믿음은 계속 누적됨.

정리 — 믿음은 증거로 갱신된다

확률은 고정된 진리가 아니라 증거에 따라 갱신되는 믿음의 정도임.

조건부확률은 조건을 깔고 본 확률 / 분모를 좁히는 것.
베이즈는 사전에 증거를 곱해 사후로 바꾸는 갱신 규칙.
기저율은 그 사전 자체 — 무시하면 사후가 통째로 틀림.

숫자가 무서우면 자연빈도로 바꿔 셈. 1000명 중 몇 명인지로 보면 역설이 풀림.